Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=32（an-1）．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=32（an-1）．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{1bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=

3

2

（a_n-1），
∴当n=1时，S₁=a₁=

3

2

(a1?1)，解得a₁=3，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

(an?1)?

3

2

(an?1?1)
=

3

2

an?

3

2

an?1，
整理，得a_n=3a_n-1，
∴{a_n}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴a_n=3×3^n-1=3ⁿ．
（Ⅱ）∵a_n=3ⁿ，
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
=1+2+3+…+n
=

n(n?1)

2

，
∴

1

bn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

?

1

n+1

），
∴T_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

?

1

3

）+…+（

1

n

?

1

n+1

）]
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．