Question

设a1，a2，a3，a4，a5为自然数．A={a1，a2，a3，a4，a5}，B={a12，a22，a32，a42，a52}，且a1＜a2＜a3＜a

设a1，a2，a3，a4，a5为自然数．A={a1，a2，a3，a4，a5}，B={a12，a22，a32，a42，a52}，且a1＜a2＜a3＜a4＜a5，并满足A∩B=﹛a1，a4﹜，a1+a2=10，A∪B中各元素之和为256．（1）求a1，a4的值；（2）求集合A．

Answer 1

（1）由A∩B={a₁，a₄}，且a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅ ，
得到只可能a₁=a₁²，即a₁=1，
又a₁+a₄=10，
∴a₄=9；
（2）∵a₄=9=a_i²（2≤i≤3），
∴a₂=3或a₃=3，
①若a₃=3时，a₂=2，此时A={1，2，3，9，a₅}，B={1，4，9，81，a₅²}，
∵a₅²≠a₅，∴1+2+3+9+4+a₅+81+a₅²=256，
整理得：a₅²+a₅-156=0，
解得：a₅=12，
∴A={1，2，3，9，12}；
②若a₂=3时，此时A={1，3，a₃，9，a₅}，B={1，9，a₃²，81，a₅²}，
∵1+3+9+a₃+a₅+81+a₃²+a₅²=256，
∴a₅²+a₅+a₃²+a₃-162=0，
又a₂＜a₃＜a₄，则3＜a₃＜9，
当a₃=4、6、7、8时，a₅无整数解，
当a₃=5时，a₅=11，
∴A={1，3，5，9，11}；
综上，A={1，2，3，9，12}或{1，3，5，9，11}．