Question

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，cos∠ABC=35，点E是AB边的中点，点F是射线BC上的一动点，连接B

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，cos∠ABC=35，点E是AB边的中点，点F是射线BC上的一动点，连接BD、DF．（1）如图1，当DF⊥BC时，求tan∠ABD；（2）如图2，当点F在BC的延长线上时，连接EF，交DC边于点G，设CF=m，试求线段DG（用含m的代数式表示）；（3）设M是边DC上一点，且5DM=8AE，连接AM，与对角线BD相交于点N，若△BDF∽△ADN，请求线段CF．

Answer 1

（1）∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，
tan∠ABD=tan（

1

2

∠ABC）=

1?cos∠ABC 1+cos∠ABC

=

1

2

；

（2）过点E做EN⊥BC，过点G做GM⊥BC，过点A做AP⊥BC，过点D做DQ⊥BC
所以EN∥GM∥AP∥QD
所以GM：EN=FM：FN，
其中EN=

1

2

AP=

1

2

DQ，
则2GM：DQ=FM：FN
GM：DQ=CG：CD=CM：CQ
则2CM：CQ=FM：FN=（FC+CM）：（BF-BN）=（m+CM）：（11+m-

3

2

）=2CM：CQ=2CM：3
解得CM=

3m

16+2m

，
CG：CD=CM：CQ  
则（CD-DG）：CD=CM：CQ
即（5-DG）：5=

3m

16+2m

：3，
解得DG=

5(16+m)

16+2m

；

（3）过点A做AH⊥BC于点H，以HC为x轴，HA为y轴建立直角坐标系过点M做MP⊥BC于点P，过点D做DQ⊥BC于点Q
则CP：CQ=MP：DQ=CM：CD
5DM=8AE=8×5÷2=20，DM=4，
则CP：CQ=MP：DQ=（5-4）：5  
则CP=

3

5

，MP=

4

5

，
则点A为（0，4），点M为（

37

5

，

4

5

），点B为（-3，0），点D为（5，4）
直线AM为y=-

16

37

x+4，直线BD为y=

1

2

x+

3

2

，
两直线相交于点N，点N为（

185

69

，

196

69

）
△AND中，底边AD=5，h=4-

196

69

=

80

69

，
S=

1

2

×5×

80

69

=

200

69

=S_△BDF=