Question

如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧AD上取一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交

如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧AD上取一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．（1）求∠AGB的度数；（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于17，BD=15，求CE的长．





Answer 1

（1）证明：连结AD，如图，                     
∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，
∴∠DAC=∠EBC，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠EBC+∠DCA=90°，
∴∠BGC=90°，
∴∠AGB=90°；                   

（2）解：∵∠BDA=180°-∠ADC=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD=15，
在Rt△ADC中，AC=17，AD=15，
∴DC=

AC2?AD2

=8，
∴BC=BD+DC=8+15=23，
∵∠EBC=∠DEC，∠BCE=∠ECD，
∴△BCE∽△ECD，
∴

BC

CE

＝

CE

CD

，即

23

CE

=

CE

8

．
∴CE=2

46

．