Question

已知x1，x2是函数f（x）=x2+mx+t的两个零点，其中常数m，t∈Z，设Tn=nr＝0x1n-rx2r（n∈N*）．（1）用m，

已知x1，x2是函数f（x）=x2+mx+t的两个零点，其中常数m，t∈Z，设Tn=nr＝0x1n-rx2r（n∈N*）．（1）用m，t表示T1，T2；（2）求证：T5=-mT4-tT3；（3）求证：对任意的n∈N*，Tn∈Z．

Answer 1

（1）x₁+x₂=-m，x₁x₂=t．
因为T_n=

n

r＝0

x₁^n-rx₂^r（n∈N^*），所以T₁=x₁+x₂=-m，
T₂=

2

r＝0

x12?rx2r=x12+x₁x₂+x22=(x1+x2)2-x₁x₂=m²-t…3分
（2）由

k

r＝0

x1k?rx2r，得T₅=

5

r＝0

x15?rx2r=x₁

4

r＝0

x14?rx2r+x25=x₁T₄+x25．
即T₅=x₁T₄+x25．
所以x₂T₄=x₁x₂T₃+x25．
所以T₅=x₁T₄+（x₂T₄-x₁x₂T₃）=（x₁+x₂）T₄-x₁x₂T₃=-mT₄-tT₃…8分
（3）①当n=1，2时，由（1）知T_k是整数，结论成立．
②假设当n=k-1，n=k（k≥2）时结论成立，即T_k-1，T_k都是整数．
由T_k=

k

r＝0

x1k?rx2r，得T_k+1=

k+1

r＝0

x1k+1?rx2r=x₁

k

r＝0

x1k?rx2r+x2k+1，
即T_k+1=x₁T_k+x2k+1，
所以T_k=x₁T_k-1+x2k，x₂T_k=x₁x₂T_k-1+x2k+1，
所以T_k+1=x₁T_k+（x₂T_k-x₁x₂T_k-1）=（x₁+x₂）T_k-x₁x₂T_k-1．
即T_k+1=-mT_k-tT_k-1．
由T_k-1，T_k都是整数，且m，t∈Z知，T_k+1也是整数，即n=k+1时，结论也成立．
由①②可知，对于一切n∈N^*，T_n∈Z…13分