Question

△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c．①若ab＞c2，则C＜π3； ②若a+b＞2c，则...

△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c．①若ab＞c2，则C＜π3； ②若a+b＞2c，则C＜π3；③若a3+b3=c3，则C＜π2； ④若（a+b）c＜2ab，则C＜π2；⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则C＞π3．其中所有叙述正确的命题的序号是______．

Answer 1

①∵a²+b²≥2ab，
∴由余弦定理得cosC=

a2+b2?c2

2ab

，
∵ab＞c²，
∴-c²＞-ab，
∵a²+b²≥2ab（当且仅当a=b是取等号），
∴cosC=

a2+b2?c2

2ab

＞

2ab?ab

2ab

=

1

2

，即0＜C＜

π

3

，选项①正确；
②∵a+b＞2c，
∴（a+b）²＞4c²，即c²＜

(a+b)2

4

，
∴cosC=

a2+b2?c2

2ab

，即0＜C＜

π

3

，选项②正确；
③假设C≥

π

2

，则c²≥a²+b²，
∴c³≥ca²+cb²＞a³+b³，与a³+b³=c³矛盾，
∴假设不成立．即C＜

π

2

成立，选项③正确．
④任取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab得C为锐角，选项④正确；
⑤由已知条件（a²+b²）c²＜2a²b²，得：c²＜

2a2b2

a2+b2

，
由余弦定理得：cosC=

a2+b2?c2

2ab

＞

2ab?ab

2ab

=

1

2

，
∵C为三角形内角，
∴0＜C＜

π

3

，命题⑤错误．
则命题正确的是①②③④．
故答案为：①②③④

Answer 2

①∵a2+b2≥2ab，
∴由余弦定理得cosC=
a2+b2?c2
2ab
，
∵ab＞c2，
∴-c2＞-ab，
∵a2+b2≥2ab（当且仅当a=b是取等号），
∴cosC=
a2+b2?c2
2ab
＞
2ab?ab
2ab
=
1
2
，即0＜C＜
π
3
，选项①正确；
②∵a+b＞2c，
∴（a+b）2＞4c2，即c2＜
(a+b)2
4
，
∴cosC=
a2+b2?c2
2ab
，即0＜C＜
π
3
，选项②正确；
③假设C≥
π
2
，则c2≥a2+b2，
∴c3≥ca2+cb2＞a3+b3，与a3+b3=c3矛盾，
∴假设不成立．即C＜
π
2
成立，选项③正确．
④任取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab得C为锐角，选项④正确；
⑤由已知条件（a2+b2）c2＜2a2b2，得：c2＜
2a2b2
a2+b2
，
由余弦定理得：cosC=
a2+b2?c2
2ab
＞
2ab?ab
2ab
=
1
2
，
∵C为三角形内角，
∴0＜C＜
π
3
，命题⑤错误．
则命题正确的是①②③④．
故答案为：①②③④