Question

实变函数问题

请详细说明划线部分为何是闭集，写一下证明过程

Answer 1

Fi包含于Ei，而Ei互不相交，即Fi是互不相交的闭集。而这种闭集的并集F*是闭集。

追问

可列个闭集之并是闭集

追答

可列个闭集的交一定是闭集，有限个闭集的并一定是闭集
可列个闭集的并不一定是闭集，也不一定是开集
这里的情况是因为特殊的不相交的条件：位于相邻环中

证明思路：对于不在F*中的任意一点P（F*若为全空间则即开又闭，满足条件），P必属于某个Si -S(i-1)，位于这个环内的是Fi
P周围必存在一个距离d的邻域使得该邻域中没有Fi中点，否则可以推出P是Fi（闭集）极限点，与P不在F*中矛盾
而P到F(i-1)和F(i+1)也有最小距离，否则P在F(i-1)中，与P在Si -S(i-1)中矛盾。F(i+1)时同理。
P到其他的Fj的距离一定大于1.
那么P有邻域使得该邻域中都是非F*中点
故F*余集为开集

追问

为什么会有两个闭集中两点无限接近

追答

两个不相交的闭集一定有大于0距离的，否则闭集A中到闭集B距离最小的点p能用B中的点列表示，那么就是B的极限点了，这样与不相交矛盾。

而这道题中可列的不相交闭集如果不限制在Si-S(i-1)环中,则可能造成任意小邻域要不总能找到两个不同闭集中的点，要不包含在某个闭集中。
这个可以举一个2维的例子。康托集是不停地挖空，反过来，不停地往里塞：[0,1]上取闭集[1/3,2/3]，再在[0,1/3]和[2/3,1]中取[1/9,2/9]和[7/9,8/9],这样一直取下去，得到一列不相交的闭集，满足[0,1]中的任意小邻域要不总能找到两个不同闭集中的点，要不包含在某个闭集中。
另外说明一下，这列闭集的并非开非闭。