Question

已知集合P={x|x2-3x+b=0}，Q={x|（x+1）（x2+3x-4）=0}．（1）当b=4时，写出所有满足条件P?M?Q的集合M；

已知集合P={x|x2-3x+b=0}，Q={x|（x+1）（x2+3x-4）=0}．（1）当b=4时，写出所有满足条件P?M?Q的集合M；（2）若P?Q，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）∵集合Q={x|（x+1）（x²+3x-4）=0}={x|（x+1）（x+4）（x-1）=0}={-1，1，-4}，
当b=4时，集合P=?，再由 P?M?Q可得，M是Q的非空子集．
共有 2³-1=7 个，分别为{-1}、{1}、{-4}、{-1，1}、{-1，4}、{1，4}、{-1，1，-4}．
（2）∵P?Q，对于方程x²-3x+b=0，当P=?，△=9-4b＜0时，有b＞

9

4

．
△=9-4b≥0时，P≠?，方程x²-3x+b=0有实数根，且实数根是-1，1，-4中的数．
若-1是方程x²-3x+b=0的实数根，则有b=-4，此时P={-1，4}，不满足P?Q，故舍去．
若1是方程x²-3x+b=0的实数根，则有b=2，此时P={1，2}，不满足P?Q，，故舍去．
若-4是方程x²-3x+b=0的实数根，则有b=2，此时P={-1，4}，不满足P?Q，故舍去．
综上可得，实数b的取值范围为（

9

4

，+∞）．