Question

如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABCD，且对角线交于点O，连接OC．已知AC=4，

如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABCD，且对角线交于点O，连接OC．已知AC=4，OC=52，则另一条直角边BC的长为______．

Answer 1

如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠AOM+∠BOF=90°，
又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BOF=∠OAM，
在△AOM和△BOF中，

∠AMO＝∠OFB＝90° ∠OAM＝∠BOF OA＝OB

，
∴△AOM≌△BOF（AAS），
∴AM=OF，OM=FB，
又∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，
∴四边形ACFM为矩形，
∴AM=CF，AC=MF=4，
∴OF=CF，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∵OC=5

2

，
∴根据勾股定理得：CF²+OF²=OC²，
解得：CF=OF=5，
∴FB=OM=OF-FM=5-4=1，
则BC=CF+BF=5+1=6．
故答案为：6．