Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数 （a，b是常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数 （a，b是常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q． （1）求a和b的值；（2）求t的取值范围；（3）若∠PCQ=90°，求t的值．

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Answer 1

（1） （2）t＞﹣4 （3）t=﹣2

分析：（1）将点A、点B的坐标代入二次函数解析式可求出a、b的值。 （2）根据二次函数及y=t，可得出方程，有两个交点，可得△＞0，求解t的范围即可。 （3）证明△PDC∽△CDQ，利用相似三角形的对应边成比例，可求出t的值。 解：（1）将点A、点B的坐标代入可得： ，解得： 。 （2）抛物线的解析式为 ，直线y=t， 联立两解析式可得：x 2 +2x﹣3=t，即x 2 +2x﹣（3+t）=0， ∵动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点， ∴△=4+4（3+t）＞0，解得：t＞﹣4。 （3）∵y=x 2 +2x﹣3=（x+1） 2 ﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线x=1。 当x=0时，y=﹣3，∴C（0，﹣3）。 设点Q的坐标为（m，t），则P（﹣2﹣m，t）。 如图，设PQ与y轴交于点D， 则CD=t+3，DQ=m，DP=m+2。 ∵∠PCQ=∠PCD+∠QCD=90°，∠DPC+∠PCD=90°，∴∠QCD=∠DPC。 又∠PDC=∠QDC=90°，∴△QCD∽△CDP。∴ ，即 。 整理得：t 2 +6t+9=m 2 +2m。 ∵Q（m，t）在抛物线上，∴t=m 2 +2m﹣3，即m 2 +2m=t+3。 ∴t 2 +6t+9=t+3，化简得：t 2 +5t+6=0，解得t=﹣2或t=﹣3。 当t=﹣3时，动直线y=t经过点C，故不合题意，舍去。 ∴t=﹣2。