Question

已知函数f（x）=1/2*ax^2+㏑x,a∈R.

（1）当a=-1时，求函数f（x）的最大值？（2）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围。 大神们解答清楚一些吧！谢谢！主要详解第二题，多谢啦！

Answer 1

　　

　　函数的单调性（monotonicity）也可以叫做函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。

　　一般地，设一连续函数 f(x) 的定义域为D，则

　　如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) >f(x2)，即在D上具有单调性且单调增加，那么就说f(x) 在这个区间上是增函数。

　　相反地，如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) <f(x2)，即在D上具有单调性且单调减少，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数。

　　则增函数和减函数统称单调函数。

Answer 2

答：
1）
a=-1，f(x)=-(1/2)x²+lnx
f'(x)=-x+1/x，x>0
f'(x)=(1-x²)/x
0<x<1时f'(x)>0
x>1时f'(x)<0
所以：x=1时f(x)取得
最大值f(1)=-1/2+0=-1/2
最大值-1/2
2）
f(x)=ax²/2+lnx=0无解
ax²=-2lnx
-a/2=lnx /x²
设g(x)=lnx /x²
求导：g'(x)=1/x³-2lnx/x³
g'(x)=(1-2lnx) /x³=0
解得：x=√e
x=√e时g(x)取得最大值
g(x)<=g(√e)=(1/2) /e=1/(2e)
因为：-a/2=g(x)=lnx /x²<=1/(2e)无解
所以：a>-1/e