Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已

A、B的纵坐标分别为7根号2/10,和根号5/5
求（1）求α+2β的一个三角函数值，并求角α+2β的值

Answer 1

解：
(1)
∵是单位圆
∴半径r=1
∵yA=(7√2)/10，yB=(√5)/5
∴sinα=yA/r=(7√2)/10，sinβ=yB/r=(√5)/5
∵α和β都是锐角
∴cosα>0，cosβ>0
∴cosα=√[1-(sinα)^2]=√{1-[(7√2)/10]^2}=(√2)/10，cosβ=√[1-(sinβ)^2]=√{1-[(√5)/5]^2}=(2√5)/5
∴tanα=sinα/cosα=[(7√2)/10]/[(√2)/10]=7，tanβ=sinβ/cosβ=[(√5)/5]/[(2√5)/5]=1/2
∴tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=(7+1/2)/(1-7/2)=-3
(2)
∵tanβ=1/2
∴tan(2β)=(2tanβ)/[1-(tanβ)^2]=(2*1/2)/[1-(1/2)^2]=4/3
∵tanα=7
∴tan(α+2β)=[tanα+tan(2β)]/[1-tanαtan(2β)]=(7+4/3)/(1-7*4/3)=-1
∵β是锐角
∴0<β<π/2
∴0<2β<π
∵β是锐角
∴0<α<π/2
∴0<α+2β<3π/2
∵tan(α+2β)=-1
∴α+2β=3π/4.

Answer 2

α+2β的余弦值为根号2//2，正选值为根号2//2，α+2β值为45度