Question

微分方程求特解

Answer 1

特征方程为r²+4=0, 得r=2i, -2i
方程右端=xsin²x=x(1-cos2x)/2=x/2-x/2cos2x
则设特解为y*=ax+b+x(cx+d)cos2x+x(ex+f)sin2x
则y*'=a+(2cx+d)cos2x-(2cx²+2dx)sin2x+(2ex+f)sin2x+(2ex²+2fx)cos2x
=a+(2cx+d+2ex²+2fx)cos2x+(2ex+f-2cx²-2dx)sin2x
y*"=(2c+4ex+2f)cos2x-(4cx+2d+4ex²+4fx)sin2x+(2e-4cx-2d)sin2x+(4ex+2f-4cx²-4dx)cos2x=(2c+8ex+4f-4cx²-4dx)cos2x+(-8cx-4d-4ex²-4fx+2e)sin2x
代入原方程得：
(2c+8ex+4f)cos2x+(-8cx-4d+2e)sin2x+4ax+4b=x/2-x/2cos2x
比较得： 8e=-1/2, 2c+4f=0, -8c=0, -4d+2e=0, 4a=1/2, 4b=0
解得：a=1/8, b=0, c=0, d=-1/32, e=-1/16, f=0
因此通解为y=C1cos2x+C2sin2x+x/8-x/32cos2x-x²/16sin2x.

Answer 2

xsin^2x=x/2-（xcos2x）/2
y”+4y=x/2。。。。。。。。1
y”+4y=（xcos2x）/2。。。。2
分别求以上两个的特解
其中齐次方程y”十4y=0的通解：r^2+4=0
r=士2i
对于1式，f（x）=e^（Ox）（x/2）
入=O，不是特征方程的解，设特解为：
y=ax+b
y”=O，代入1式
O十4ax十4b=X/2
4a=1/2， b=O
a=1/8 故1式特解为y=x/8。。。。。。。3
对于2式，
f（x）=e^（Ox）[（xcos2x）/2十0sin2x]
入=0，w=2
入十iw=2i是特征方程的解，故没2式特解为：
y=x[（ax十b）cos2x十（cx十d）sin2x]
y”十4y=（8cx十2a十4d）cos2x+（-8ax十2c-4b）sin2x=xcos2x/2
c=1/16， b=1/32， a=d=0
2式持解：
y=（x^2sin2x）/16十（xcos2x）/32。。。。4
把3式和4式相减即原方程特解
计算真麻烦！

Answer 3