Question

已知等比数列{an}的公比q>1,其前n项和为sn.若s4=2s2 +1,求s6的最小值

Answer 1

解：
数列是等比数列，S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，公比为q²
由S4=2S2+1得S4-S2=S2+1
S4-S2=q²S2代入，得q²S2=S2+1
S2=1/(q²-1)
(S4-S2)²=S2·(S6-S4)
S6=(S4-S2)²/S2 +S4
=(q²S2)²/S2 +2S2+1
=q⁴/(q²-1)+2/(q²-1) +1
=(q⁴+q²+1)/(q²-1)
=(q⁴-q²+2q²-2+3)/(q²-1)
=q²+2 +3/(q²-1)
=(q²-1)+ 3/(q²-1) +3
由均值不等式得：(q²-1)+3/(q²-1)≥2√3，当且仅当q=√(1+√3)时取等号。
S6≥3+2√3
S6的最小值为3+2√3