Question

高一数学 详细解释一下

设a、b不共线,向量c=λa+μb,且a、b、c有共同起点O.
试证明:当且仅当λ+μ=1时,向量a、b、c的终点在一条直线上
【即向量a、b、c的终点在一条直线上的充要条件是λ+μ=1】

Answer 1

设向量a终点为A，向量b终点为B，向量c终点为C。
则如果能证明向量AB//向量AC即可证明A、B、C三点共线，即向量a、b、c的终点在一条直线上。
∵向量AC = -a + c , 向量AB = - a + b，c = (1-μ)a + μb.
∴向量AC = -a + (1-μ)a + μb = -μa + μb = μ(-a+b).
∵向量AC= μ·向量AB
∴向量AC//向量AB
∴A、B、C三点共线，向量a、b、c的终点在一条直线上

Answer 2

设△OBC中BC上有一点A，a＝（向量OB），b＝（向量OC），c=(向量OA)，AB=kCA，AB=OB-OA,CA=OA-OC代入AB=kCA中得c-a=k(c-b),化简得（k+1）c=a+kb,则λ=（1/k+1）
,μ=(k/k+1),所以λ+μ=1，这是原始的方法。你的问题就很简单了，将μ=1-λ，带入上面的
c=λa+μb中，提公因式即得到结论。