Question

求问一道复变函数题

求问一道复变函数题第五题

Answer 1

答案错了,我用另一个方法帮你证明
由高阶导公式,f'(2)=1/2πi*∫Cf(z)/(z-2)²*dz
=∫C[f(z)/2πi]/(z-2)²*dz
又f(z)/2πi=1/2πi*∫C(3ξ²+7ξ+1)/(ξ-z)*dξ=3z²+7z+1(柯西积分公式)

代入上式,f'(2)=∫C(3z²+7z+1)/(z-2)²*dz
被积函数在C的内部除了z=2以外处处解析,z=2是二阶极点,利用极点处的留数公式

Res[(3z²+7z+1)/(z-2)²,2]=lim(z→2)(3z²+7z+1)'=lim(z→2)(6z+7)=19
∴f'(2)==∫C[f(z)/2πi]/(z-2)²*dz=2πiRes[(3z²+7z+1)/(z-2)²,2]=2πi*19=38πi