Question

请问sinx 与x之差等于三阶无穷小怎么用？

Answer 1

sinx与x之差等于三阶无穷小：

x->0

sinx ~ x- (1/6)x^3

sinx -x ~ -(1/6)x^3

lim(x->0) (sinx- x)/x^3

=-1/6

或：

sinx ~ x- (1/6)x^3

sinx -x ~ - (1/6)x^3

lim(x->0) (sinx-x)/x^3

= lim(x->0) - (1/6)x^3/x^3

=-1/6

无穷小量

就是极限为零的量。确切地说，当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时，函数值f(x)与零无限接近，即limf(x)=0，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。例如，f(x)=(x－1)2是当x→1时的无穷小量，f(x)= 1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量（注意：特别小的数和无穷小量不同）。

Answer 2

x->0
sinx ~ x- (1/6)x^3
sinx -x ~ -(1/6)x^3
lim(x->0) (sinx- x)/x^3
=-1/6

追问

这是啥？

追答

Taylor's expansion
sinx ~ x-(1/3!) x^3 + (1/5!)x^5 +....+
~ x- (1/6)x^3+ (1/120)x^5+...
分子= sinx -x
如果
sinx ~ x
分子= sinx -x ~0
那样无法比较
所以
我们多拿一项目
sinx ~ x- (1/6)x^3
sinx -x ~ - (1/6)x^3
lim(x->0) (sinx-x)/x^3
= lim(x->0) - (1/6)x^3/x^3
=-1/6

追问

啊，虽然我觉得我问的和你答得不一样