Question

求与球相切的平面方程

求与球相切的平面方程14

Answer 1

解：代入原直线方程,则:x+28y-2z+17=0....(1); 5x+8y-z+1=0.....(2) 两个联立方程消去z，2*(2)-(1)，得：4x-12y-15=0, 得：y=x/3-5/4.....(3);令x=0，由(3)，得：y=-5/4; 将y=-5/4,x=0代入式（2）,得：z=-9; ∃平面(1),(2)过点(0,-5/4,-9);
求两平面的交线切向量：对第一个平面求偏导数 f1'x=1，f1'y=28, f1'z=-2; f2'x=5, f2'y=8, f2'z=-1; 向量n1={1,28,-2},n2={5,8,-1},直线的切向量（→v）= n1Xn2={1,28,-2}X{5,8,-1} ={28*(-1)-(-2)*8,(-2)*5-(-1)*8,1*8-28*5*}={-12,-9,-132}; 直线的一法平面：-12x-9(y+5/4)-132(z+9)=0,整理，得：4x+3y+44z-1599/4=0....(4)； 解（1),(2),(4）联立方程组，必为直线的交点。(2)*44+(4)，得：224x+355y-1071/4=0....(5); 将（3）代入（5）得：224x+355(x/3-5/4)-1071/4=1027x/3-1513/2=0,x=4539/2054....(6); y=(4539/2052)/3-5/4=1513/2052- 5/4=1052/2052=263/513...(7)；将(6)和(7)代入(2),得：z=5x+8y+1=5(4539/2054)+8(263/513)+1=(22659+8416+2052)/2052=33127/2052.....(8);
圆球曲面的切平面方程x^2+y^2+z^2=1的法向量，n球={2x,2y,2z}，垂直于直线的切向量；n球Xv={2x,2y,2z}X{-12,-9,-132}={2y*(-132)-2z*(-9),2z*(-12)-2x*(-132),2x*(-9)-2y*(-12)}={0,0,0}.132y=9z.....(i), 12z=132x.....(ii), 9x=12y...(iii); 解（i),(ii),(iii)联立方程组，由（i）得:z=44y/3...(iv).x=4y/3...(v), z=11x=44y/3。过点（4539/2054，263/513，33127/2052）=(p,q,r) 的切平面方程为：2x(x-4539/2054)+2y(y-263/513)+2z(z-33127/2052)=0;
即：有两个切平面，因为数字太复杂，就用字母代替了. (x-p/2)^2+(y-q/2)^2+(z-r/2)^2=(p^2+q^2+r^2)/4；解这个方程和球：x^2+y^2+z^2=1,以及(iv)(v)的联立方程，可以求出两个交点。然后将交点坐标分被代入{2x,2y,2z}得到2个切平面法向量，再重新用两个交点坐标，代入新方程。就得到两个切平面方程。