Question

复数的复数次幂

复数的复数次幂的意义和运算法则分别是什么？

Answer 1

(a+i*b)^(a+i*b)和（r*(cosa+i*sina))^（r*(cosa+i*sina))结果的一般形式:
解决这个问题主要是运用公式w^z=exp(z*Lnw)=exp{z*[i*(arg(w)+2kπ)+ln|w|]}
其中w、z是复数，注意Lnw是多值函数！所以下面的结果都是多值函数，不同的值通过不同的k来区别。

令θ=arg(a+ib),R=√(a²+b²)，则
(a+ib)^(a+ib)
=exp{[i(θ+2kπ)+lnR]*(a+ib)}
=exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*exp{i[(θ+2kπ)*a+blnR]}
=exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*{cos[(θ+2kπ)*a+blnR]+i*sin[(θ+2kπ)*a+blnR]}
=exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*cos[(θ+2kπ)*a+blnR]+i*exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*sin[(θ+2kπ)*a+blnR]

令φ=arg(cosa+icosb),K=√[r²(cos²a+cos²b)]，则
(r*(cosa+i*cosb))^(r*(cosa+i*cosb))
=exp{i(φ+2kπ+lnK)*r*(cosa+i*cosb)}
=exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*exp{i*r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}
=exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*(cos{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}+i*sin{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]})
=exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*cos{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}+i*exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*sin{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}

i^i=exp{i[(π/2)+2kπ]*i}=exp{-[(π/2)+2kπ]}，其中k∈Z