Question

复数复数次幂

请问 (a+bi)^(x+yi)等于多少呢?能否展开计算?

如果用这个计算公式，能否符合以下的计算?
2^2
i^2
i^i
exp{pi*i}？
谢谢

Answer 1

先将a+bi写成rexp(iφ)的结构
(a+bi)^(x+yi)=exp((r+iφ)(x+yi))=exp(rx-φy+i(xφ+yr))
=exp(rx-φy)[cos(xφ+yr)+isin(xφ+yr)]

2^2=4
i=exp(iπ/2) i^2=exp(iπ)=cos(π)+isin(π)=-1
i^i=exp(iπ/2i)=exp(-π/2)
exp(π*i)=cos(π)+isin(π)=-1

追问

请问φ和r是含义什么?

追答

a+bi=【√(a²+b²）】(cosφ+isinφ)=exp(r+iφ) φ是幅角 exp(r)=√(a²+b²）是复数a+bi的模
写错了一点 r 应在里面,后面没错

追问

错的？怎么会这样？ 你的公式...

Answer 2

这个比较复杂，牵扯到指数函数，不能简单运算

追问

那么 能否帮我展开计算？

追答

不能展开，太复杂了。就是把指数换成未知数，变成一个复变函数，然后再展开成泰勒级数，再把那个值代入泰勒级数中。