Question

积分变限函数求导推导？

”g(x)=∫f(t)dt（积分限v(x)到u(x)），则g'(x)=u'(x)f[u(x)]-v'(x)f[v(x)]，这是最一般的变限积分求导公式“这公式怎么来的？上下限不是只是标注被积区间，只是一个符号吗？为什么要连着它也要求导？

Answer 1

我们常用的变限函数形式大致都是∫f(t)dt（积分限t（x）到k（x）），当我们给定一个x的时候，由函数的映射关系的出t（x）和k（x）都对应一个值，则∫f(t)dt为一个确定的值。

将积分分为两部分：

∫f(t)dt（积分限t（x）到k（x））=∫f(t)dt（t（x）到a）+∫f(t)dt（a到k（x））。

由导数的定义来求导数，g'(x)=lim[∫f(t)dt-∫f(t)dt]/h（h趋于0，积分限前者为a到x+h，后者为a到x）=lim∫f(t)dt/h（积分限x到x+h，根据的是积分的区间可加性）。

根据积分中值定理，存在ξ属于(x,x+h)，使得∫f(t)dt/h=f(ξ)h，又因为h趋于0时ξ是趋于x的，故极限=limf(ξ)h/h=f(x)，至此证明了g'(x)=f(x)，∫f(t)dt（t（x）到a）同理可证。

最后得出变限函数求导公式

扩展资料：

函数的连续性：

若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则积分变上限函数在[a,b]上连续。

导数推广：

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，X0为[a，b]内任一点，则变动上积限积分满足：

原函数存在定理：

若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

参考资料来源：百度百科-积分变限函数

Answer 2

上下限中也有x，不是常数，用复合函数求导很容易得到这个公式。

把定积分g(x)=∫(v(x).u(x))f(t)dt

变形成F(u(x))－F(v(x))

F'(t)=f(t)

最常见的是变上限函数的积分，即∫f(t)dt（积分限a到x），根据映射的观点，每给一个x就积分出一个实数，因此这是关于x的一元函数，记为g(x)=∫f(t)dt（积分限a到x），注意积分变量用什么符号都不影响积分值，改用t是为了不与上限x混淆。

扩展资料:

积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数。上式为积分变上限函数的表达式，当x与a位置互换后即为积分变下限函数的表达式，所以我们只讨论积分变上限函数即可。

积分变限函数与以前所接触到的所有函数形式都很不一样。首先，它是由定积分来定义的；其次，这个函数的自变量出现在积分上限或积分下限。

参考资料来源：百度百科-积分变限函数

Answer 3

像这种公式，要想从根本上理解它，最好的办法就是用导数的定义去证明，也就是把这个公式变成极限来证，在证明过程中使用了定积分的性质，以及积分中值定理，还有极限的运算法则，详细过程如下。

追问

最后那里，limf（ξ）为啥等于f(u(x))

追答

你看上一行

Answer 4

你把定积分g(x)=∫(v(x).u(x))f(t)dt
变形成F(u(x))－F(v(x))
F'(t)=f(t)
那么求导就好理解了

追问

你这个真的好理解！但是二楼也有道理。。两种方法吧

追答

找到能帮助自己的方法就好😄

Answer 5

上下限中也有x，不是常数，用复合函数求导很容易得到这个公式。

追问

所以是怎样的？

追答