Question

定义在R上的单调函数f(x)满足f(2)=3/2,且对任意x,y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)

Answer 1

答：
定义在R上的单调函数f(x)满足：f(2)=3/2
1）
f(x+y)=f(x)+f(y)
设x=y=0：f(0)=2f(0)，f(0)=0
令x+y=0：f(0)=f(x)+f(-x)=0
f(-x)=-f(x)
所以：f(x)是R上的单调递增奇函数
2）
f(k*3^x)+f(3^x-9^x-2)<0
f(k*3^x)<-f(3^x-9^x-2)=f(-3^x+9^x+2)
所以：k*3^x<9^x-3^x+2
(k+1)*3^x<(3^x)^2+2
k+1<3^x+2/3^x
因为：3^x+2/3^x>=2√[(3^x)*2/3^x]=2√2
当且仅当3^x=2/3^x即3^x=√2时取得最小值
所以：
k+1<2√2
k<2√2-1