Question

在ΔABC中,AB=AC,点P为ΔABC所在平面内一点,过点P分别作PE‖AC交AB于点E,PF‖AB交BC于点D，交AC于点F。若

P在BC边上，此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB。
请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在ΔABC内。ΔABC外时，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，PD、PE、PE于AB之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要说明理由。

Answer 1

成立. P在ΔABC内
过D作DG‖AB交AB与点G，由已知可得AEPF，AGDF，EGDP均为平行四边形
所以PE=GD PF=AE PD=GE
有因为BDG为等腰三角形，所以DG=BG 即BG=PE
所以AB=AE+EG+GB=PF+PD+PE

P在ΔABC外时
AB=PE+PD-PF 证法一样

Answer 2

PD+PE+PF=AB．

证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形AEPF是平行四边形，四边形BDPM是平行四边形，
∴AE=PF，∠EPM=∠ANM=∠C，
∵AB=AC，
∴∠EMP=∠B，
∴∠EMP=∠EPM，
∴PE=EM，
∴PE+PF=AE+EM=AM．
∵四边形BDPM是平行四边形，
∴MB=PD．
∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，
即PD+PE+PF=AB．
图3结论：PE+PF-PD=AB．

Answer 3

解：图2结论：PD+PE+PF=AB．

证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形AEPF是平行四边形，四边形BDPM是平行四边形，
∴AE=PF，∠EPM=∠ANM=∠C，
∵AB=AC，
∴∠EMP=∠B，
∴∠EMP=∠EPM，
∴PE=EM，
∴PE+PF=AE+EM=AM．
∵四边形BDPM是平行四边形，
∴MB=PD．
∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，
即PD+PE+PF=AB．
图3结论：PE+PF-PD=AB．