Question

求下面两个函数的极限（要过程） ①lim(x->∞)[(x+1)/(x-1)]∧x+2 ②lim(

Answer 1

1、
lim(x->∞)[(x+1)/(x-1)]^(x+2)
=lim(x->∞)[1+
2/(x-1)]^
[(x-1)/2*
2(x+2)/(x-1)]
显然x趋于无穷时，
[1+
2/(x-1)]^(x-1)/2
趋于e，而2(x+2)/(x-1)趋于2，
所以原极限趋于e^2
2、
实际上x趋于0时，sinx等价于x，即1/sinx-1/x趋于0
lim(x->0)[(1/sinx)-(1/x)]
=lim(x->0)
(x-sinx)/(sinx*x)
=lim(x->0)
(x-sinx)/
x^2
*x/sinx
显然x/sinx趋于1，
而
(x-sinx)/
x^2=(1-cosx)/2x=
sinx/2趋于0
所以极限值为0
3、
(lncosx)'
=1/cosx
*(cosx)'
=1/cosx
*(-sinx)
=
-tanx
4、
ln[√(x²+1)+x]
'
=
1/[√(x²+1)+x]
*
[√(x²+1)+x]
'
=1/[√(x²+1)+x]
*
[x/√(x²+1)+1]
=1/√(x²+1)
再求导得到二阶导数
[1/√(x²+1)]'
=
-1/2
*
(x²+1)^(-3/2)
*2x
=
-x
*(x²+1)^(-3/2)