Question

如图(1),在rt△abc中,∠abc=90度，分别以AB，BC为一边向外作正方形ABFG，BCED，连接AD.CF，AD与CF交于点M.

Answer 1

（1）∵正方形ABFG、BCED，
∴AB=FB，CB=DB，∠ABF=∠CBD=90°，
∴∠ABF+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠ABD=∠CBF，
在△ABD和△FBC中，
AB=FB∠ABD=∠CBFDB=CB
，
∴△ABD≌△FBC（SAS）；（2）连接FD，设CF与AB交于点N，
∵△ABD≌△FBC，
∴AD=FC，∠BAD=∠BFC，
∴∠AMF=180°-∠BAD-∠CNA=180°-（∠BFC+∠BNF）=180°-90°=90°，
∴AD⊥CF，
∵AD=6，
∴FC=AD=6，
∴S四边形AFDC=S△ACD+S△ACF+S△DMF-S△ACM，
=
1
2
AD?CM+
1
2
CF?AM+
1
2
DM?FM-
1
2
AM?CM，
=3CM+3AM+
1
2
（6-AM）（6-CM）-
1
2
AM?CM，
=18；
（3）∵在△ABC中，设BC=a=3，AC=b=2，AB=c，
∴a-b＜c＜a+b，即1＜c＜5，
∴1＜c2＜25，即1＜a2+b2+k=13+k＜25，
解得：-12＜k＜12．