Question

求函数Z=x^2+y^2在条件下x/4+y/9=1下的极值

Answer 1

求函数Z=x²+y²在条件x/4+y/9=1下的极值;
解(一)：作函数F(x，y)=x²+y²+λ(x/4+y/9-1);
令∂F/∂x=2x+λ/4=0...........①；∂F/∂y=2y+λ/9=0..........②；x/4+y/9-1=0........③;
由①得x=-λ/8；由②得y=-λ/18；代入③式得：-λ/32-λ/162-1=-(97/2592)λ-1=0
故得λ=-2592/97；∴ 得驻点：x=324/97；y=144/97;
因为z=x²+y²是一个顶点在原点(0，0，0)的旋转抛物面，高无限；
x/4+y/9=1是一张过(4，0，0)和(0，9，0)且垂直于xoy坐标面的平面，其与旋转抛物面
的交线有最低点，无最高点，因此z=x²+y²在条件x/4+y/9=1下有最小值，无最大值；
zmin=(324/97)²+(144/97)²=13.36;
解(二)。由x/4+y/9=1，得y=9(1-x/4)，代入z=x²+y²得
z=x²+81(1-x/4)²=(97/16)x²-(81/2)x+81;
令dz/dx=(97/8)x-(81/2)=0，得驻点 x=324/97；
因为d²z/dx²=97/8>0；所以x=324/97是极小点; 相应地，y=9(1-324/388)=144/97;
故zmin=(324/97)²+(144/97)²=13.36;