Question

在面积为2的三角形ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,点P在直线EF上,则向...

在面积为2的三角形ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,点P在直线EF上,则向量PC*PB+BC2的最小值是.

Answer 1

∵E、F是AB、AC的中点,∴EF到BC的距离＝点A到BC的距离/2,∴△ABC的面积＝2△PBC的面积,而△ABC的面积＝2,∴△PBC的面积＝1,又△PBC的面积＝（1/2）PB×PCsin∠BPC,∴PB×PC＝2/sin∠BPC.由向量夹角公式,有：cos∠BPC＝向量CP·向量BP/（｜向量CP｜｜向量BP｜）,∴向量CP·向量BP＝PB×PCcos∠BPC＝2cos∠BPC/sin∠BPC.由余弦定理,有：BC^2＝BP^2＋CP^2－2BP×CPcos∠BPC.显然,BP、CP都是正数,∴BP^2＋CP^2≧2BP×CP,∴BC^2≧2BP×CP－2BP×CPcos∠BPC.∴向量CP·向量BP＋BC^2≧2cos∠BPC/sin∠BPC＋2BP×CP－2BP×CPcos∠BPC＝2cos∠BPC/sin∠BPC＋4/sin∠BPC－4cos∠BPC/sin∠BPC＝（4－2cos∠BPC）/sin∠BPC.令∠BPC＝2x,则：向量CP·向量BP＋BC^2≧［4（cosx）^2＋4（sinx）^2－2（cosx）^2＋2（sinx）^2］/（2sinxcosx）＝［（cosx）^2＋3（sinx）^2］/（sinxcosx）＝cosx/sinx＋3sinx/cosx.在△PBC中,显然有：0°＜∠BPC＜180°,∴0°＜2x＜180°,∴0°＜x＜90°,∴cosx、sinx都是正数,∴cosx/sinx＋3sinx/cosx≧2√3,∴向量CP·向量BP＋BC^2≧2√3.∴向量CP·向量BP＋BC^2的最小值为2√3.

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示