Question

初二几何题！急求解！！！！！

如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D
（1）若P为BC的中点，PE⊥AB，PF⊥AC，求证：PE+PF=CD
（2）若P为BC上一动点，PE⊥AB，PF⊥AC，试猜想PE+PF和CD的大小关系

Answer 1

解：

（1）证明

∵CD⊥AB于点D，PE⊥AB于点E，

∴CD//PE

又∵P为BC中点

∴PE/CD=BP/BC=1/2

∴PE=1/2CD

又∵△ABC为等腰三角形，AB=AC

∴∠B=∠C

又∵P为BC中点

由对称性可知：

PE=PF=1/2CD

∴PE+PF=CD

（2）PE+PF和CD的大小关系：PE+PF=CD

证明：（充分利用现有条件）

设BC的长为a，P为BC上一动点，PB=x

∴PC=a-x

又∵PE⊥AB，PF⊥AC

在Rt△PEF和Rt△PFC中，

PE/PB=Sin∠B；PF/PC=Sin∠C

PE=PB*Sin∠B=x*Sin∠B

PF=PC*Sin∠C=（a-x）*Sin∠C

∴PE+PF=x*Sin∠B+（a-x）*Sin∠C

又∠B=∠C

∴PE+PF=（x+a-x）*Sin∠B=a*Sin∠B=BC*Sin∠B

又∵CD⊥AB

在Rt△CDB中，CD/CB=Sin∠B

∴CD=BC*Sin∠B=PE+PF

Answer 2

1\等腰三角形，由对称性容易得到PE=PF，可以通过证明PBE,PCF全等实现. 中位线定理得到PE是CD的一半。这样就证明了。

2\通过P做CD的垂线交CD与Q. PEDQ是矩形PE=DQ. 剩下就证明PF=CQ,通过证明PCF和PCQ全等实现. 两三角形有直角,公共边,还有角FCP=ABC=QPC，实现。就全部证明了