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用极限的定义来证明函数的的极限。
对连续函数来说,函数在一点连续是指函数在这一点的左、右极相等并且等于该点的函数值,我们知道f(x)=x^3在R上连续增函数。
用定义证明函数的极限关键要熟悉函数极限的定义。用∈一△语言,对于
丨x^3-1丨=|(x-1)(x^2+x+1)|=|(x-1)((x+1/2)^2+3/4)|≤|(x-1)|=|x-1|,所以对于任意给定的正数∈,总可取△=∈,则当0<丨x-1丨<△(=∈)时,恒有不等式|x^3-1丨<|x-1丨<∈成立。因此,lim(x一>1)x^3=1。
对连续函数来说,函数在一点连续是指函数在这一点的左、右极相等并且等于该点的函数值,我们知道f(x)=x^3在R上连续增函数。
用定义证明函数的极限关键要熟悉函数极限的定义。用∈一△语言,对于
丨x^3-1丨=|(x-1)(x^2+x+1)|=|(x-1)((x+1/2)^2+3/4)|≤|(x-1)|=|x-1|,所以对于任意给定的正数∈,总可取△=∈,则当0<丨x-1丨<△(=∈)时,恒有不等式|x^3-1丨<|x-1丨<∈成立。因此,lim(x一>1)x^3=1。
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极限定义证明,就是传说中的“ξ-δ”语言
取任意ε>0,
由于x无限趋于1,则|x-1|<1
则|x+1|<2+|x-1|<3,即|x+1|<3
两边同时乘以|x-1|得:
|x+1||x-1|<3|x-1|
即|x²-1|<3|x-1|
要使|x²-1|<ε成立,只要使
3|x-1|<ε便可.
取δ=ε/3
则当|x-1|<δ=ε/3时,就有|x²-1|<ε
∴x趋近于1,limx²=1
这种证明法的精髓就是:
找到x的某个邻域,比如本题的|x-1|<δ=ε/3时,
有函数减去A的绝对值小于任意给定值,比如|x²-1|<ξ,
那么A就是他的极限值。如此而已。
不好理解就记住他的证明步骤吧。反正考试几乎不考。
取任意ε>0,
由于x无限趋于1,则|x-1|<1
则|x+1|<2+|x-1|<3,即|x+1|<3
两边同时乘以|x-1|得:
|x+1||x-1|<3|x-1|
即|x²-1|<3|x-1|
要使|x²-1|<ε成立,只要使
3|x-1|<ε便可.
取δ=ε/3
则当|x-1|<δ=ε/3时,就有|x²-1|<ε
∴x趋近于1,limx²=1
这种证明法的精髓就是:
找到x的某个邻域,比如本题的|x-1|<δ=ε/3时,
有函数减去A的绝对值小于任意给定值,比如|x²-1|<ξ,
那么A就是他的极限值。如此而已。
不好理解就记住他的证明步骤吧。反正考试几乎不考。
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任给ε>0,存在δ>0,使得当|x-1|<δ时1-δ<x<1+δ,
δ充分小时x^2+x+1在(1-δ,1+δ)是增函数,
所以|x^3-1|=|x-1|*|x^2+x+1|<δ[(1+δ)^2+1+δ+1|
=δ(3+3δ+δ^2),
取δ=min{1/4,ε/4},则|x^3-1|<ε,
所以lim<x-->1>x^3=1.
δ充分小时x^2+x+1在(1-δ,1+δ)是增函数,
所以|x^3-1|=|x-1|*|x^2+x+1|<δ[(1+δ)^2+1+δ+1|
=δ(3+3δ+δ^2),
取δ=min{1/4,ε/4},则|x^3-1|<ε,
所以lim<x-->1>x^3=1.
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如果一个高数的极限,里面的其他人了,而其他人是没法解决的,所以我只有通过其他人帮我解决
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