Question

幂的运算

Answer 1

在小学的时候，我们学习了四则运算，也就是加减乘除，那么到了初中，我们又重新学习了一种运算，第五种运算，那就是幂的运算，什么是幂的运算？比如100个十相乘，那么现在我们就不用把它写成连乘的形式，就直接写10的100次方，这也就是幂运算。

那么命运算一定离不开乘法，那么幂可不可以参与乘法呢？一定是可以的，于是我们就探究了同底数幂的乘法运算，比如我先举一个例子，十的二次方乘以十的三次方，他的结果是什么呢？首先用第一个方法验算，就是百十的二次方写成10×10，然后十的三次方写成10×10×10，最终把它们相乘，也就是五个十在相乘，我们就可以把它写成十的五次方。你可能会发现他们最终的这个结果的指数就是原式中的两个指数相加，这就是我们发现的规律，可是现在我们只是举了一个特例，我们需要用字母来表示，比如十的m次方乘以十的N次方，我们想一下他的道理，也就是十个m相乘乘以十个n相乘，最终也就是十的m+N次方，所以最终我们得到的规律就是同底数幂的乘法运算，把指数相加，就可以得到结果。

可是我却意识到了一个问题，现在我们的底数都是十，如果是其他的数字，那么我们发现的这个规律，它还通用吗？比如举一个例子，1/2的2次方乘以1/2的3次方，我们也就可以这样表示，两个1/2相乘再乘以三个1/2相乘，最终是五个1/2相乘，也就是1/2的五次方，所以同理数幂的乘法运算，它的普遍运算就是，指数相加。

后来我们就探究了幂的乘方与积的乘方，比如举一个例子，（6²）⁴，他是如何运算的呢？我们可以继续的把它分解一下，也就是六的二次方的四次方，那么用算式来表示就是这样。

所以我们把六的二次方分成6×6，而六的二次方的四次方，也就是有四个这样的六成六相乘，所以最后就成了八个六在相乘，而我们也可以把它看成（6×6）⁴。你可能会很巧妙的发现这个指数，正是上面密的乘方与积的乘方的两个指数的积，所以我们就猜测幂的乘方与积的乘方的规律是不是就是两个指数相乘呢？

要想他具有普遍性，那么就需要用字母来表示了。

这也就是我们发现的规律，可是如果底数不是一个数字，还是一个式呢？就比如，（3×5）⁴，当我看到这个式子的第一眼，我就感觉可以把每一个乘数分别乘方，然后再把所得的幂相乘，如下图。

我们可以再把这个式子分解一下，如下图。

这样算就可以得到我们最终的结果了，当然，我们也需要要用字母来表示，证明它的普遍性，如下图。

这也就是我们发现的它的规律，用一句话来总结一下，那就是积的乘方先把积个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘。

同时我们也研究了幂的除法。比如十的三次方除以十的二次方，当时我就在想，乘法是把他们的指数相加，那么除法，会不会是把他们的指数相减呢？于是我就试验了一下，十的三次方，也就是三个十相乘，然后再除以十的二次方，也就是再除以两个十相乘，最终我发现可以写成10×10×10÷10×10，可以发现成的两个十都抵消了所以最终也只剩下了一个十，也就是十的一次方，可以这样表示。

所以我们也就发现了同底数幂的除法的规律，也就是把他们的指数相减，最终得到的数就是它们的结果，用字母表示就是如下。

这也就是幂的运算，非常的奇妙，是第五种运算，他们的简洁正是数学的简洁之美。