Question

特征值相同，特征向量相同吗?

Answer 1

A和A^T的特征值相同，但特征向量不一定相同。

这虽然没错，但还有些相关的结论值得注意。

1. 利用Jordan标准型容易验证A和A^T相似，特征值相同是直接推论。

   当然这一结论也可以用λI-A与λI-A^T相抵得到。

   
   

   
   

2. A和A^T的特征向量并不是没有关系。

   为此我们先下一个定义：

   如果Ax=λx，x≠0，那么x称为A关于特征值λ的(右)特征向量；

   如果y^TA=λy^T, y≠0，那么y称为A关于特征值λ的左特征向量。

   显然y是A关于特征值λ的左特征向量<=>y是A^T关于特征值λ的右特征向量，

   注意这里的特征值是完全相同的。

   
   

   
   

   进一步，我们假定A可对角化，并且P^{-1}AP=Λ是对角阵，

   那么很明显P的列是A的右特征向量系，而从P^TA^TP^{-T}=Λ得到P^{-T}的列是A^T的右特征向量系，也就是A的左特征向量系。

   A不可对角化时特征向量会少一些，需要引进循环特征向量才能构成P，结论大体上是一样的。

   仅仅说“A和A^T的特征向量不一定相同”大致相当于“P和P^{-T}不是一回事”，这话虽然没错，但漏掉了很多有用的信息。

   
   

   作为简单的推论，我们可以得到：

   (1) 如果λ是A的单特征值，y和x分别是A关于λ的左右特征向量，那么y^Tx≠0；

   (2) 如果λ和μ是A的两个不同特征值，x是A关于λ的右特征向量，y是A关于λ的左特征向量，那么y^Tx=0。