Question

三角形ABC中,点O是AC边上一动点,过点O作直线MN//BC,设MN交角BCA的平分线CE于E,交角BCA的外角平分线CF于点F

点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形么？证明

在线等，千求万谢

Answer 1

不是菱形。设D是BC延长线上一点，根据已知，∠ECF=∠BCA/2+∠ACD/2=(∠BCA+∠ACD)/2=180°/2=90°=RT∠
如果BCFE是菱形，那么FEC是等腰三角形，∠FEC=∠ECF=RT∠
同时菱形是平行四边形，∠BEC=∠ECF=RT∠
∠BEF=∠FEC+∠BEC=2*90°=180°
即B、E、F三点一线，这和EF//BC（即MN//BC）以及O是AC上一动点相矛盾。

Answer 2

∵CE平分∠ACB
∴∠ACE=∠BCE
∵MN‖BC
∴∠BCE=∠OEC
∴∠OEC=∠OCE
∴OE=OC
同理：OF=OC
∴OE=OF
（2）当O为AC中点是四边形AECF为矩形
证明：∵OA=OC，OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形
∵OE=OC=OF
∴∠ECF=90°
∴四边形AECF是矩形

Answer 3

（1）
CE和CF是角平分线
角OCF=角DCF

角OCE=角ECB
所以角ECF=90度
MN//BC
所以角DCF=角OFC=OCF
角OCE=角OEC=角ECB
所以边OE=OC=OF（等腰3角行）
（2）

因为O点无论怎么移动，OF=OC=OE都成立，角ECF=90度
反证法，当AECF是矩形时
所以AC=EF（矩形中对角线相等）
AC=AO+OC
EF=EO+OF
OF=OC=OE
所以得出OF=OC=OE=AO
所以当o是AC中点时候是矩形