Question

对于任意的x∈R,不等式2x^2-a(x^2+1)^1/2+3>0恒成立。则实数a的取值范围是

Answer 1

2x^2+3>a(x^2+1)^1/2
(2x^2+3)/((x^2+1)^1/2)>a
(4x^4+12x^2+9)/(x^2+1)>a^2
4x^2+8+1/(x^2+1)>a^2
4x^4+4+1/(x^2+1)+4>a^2
4x^4+4+1/(x^2+1)>=4
a^2小于8
-2根号2小于a小于x2根号2

Answer 2

2x^2-a(x^2+1)^1/2+3>0
a(x^2+1)^(1/2)<2x^2+3
2(x^2+1)-a(x^2+1)^(1/2)+1>0
设y=(x^2+1)^(1/2),则：y>=1,
2y^2-ay+1>0
要使此式恒成立，则：2y^2-ay+1=0的判别式>0
即：a^2-8>0
a>2*根号2， 或a<-2*根号2

另一方面，由2y^2-ay+1>0
得：a<2y+(1/y)
当：a<-2*根号2，显然a<2y+(1/y)成立
当：a>2*根号2，由于当y趋于无穷大时，2y+(1/y)趋于无穷大，所以a<2y+(1/y)不能恒成立

综合以上：
实数a的取值范围是：a<-2*根号2

Answer 3

做这类题目你要掌握其方法，我建议你画图解题，画出一个大体图形，然后根据题目所说的意思，在图上找答案。就像这题目，你完全可以把不等式前面部分转换成一个一元二次函数，然后画出其大概图形。根据题目的意思就是这个函数的最小值要恒大于零。你根据这点，先求出函数的最小值，只要让它大于零就可以解出a的范围了。这类的转换很多题目中适用，要你自己解题中发现。