Question

已知实数x,y满足(x-2)^2+(y-1)^2=1,求z=((y+1)/x的最大值与最小值

Answer 1

解法一：（拉格朗日法）
设F=(y+1)/x+λ[(x-2)²+(y-1)²-1]
令F'x=-(y+1)/x²+2λ(x-2)=0..........(1)
F'y=1/x+2λ(y-1)=0..........(2)
F'λ=(x-2)²+(y-1)²-1=0..........(3)
解方程组(1)(2)得 y²=1+2x-x²..........(4)
把(4)代入(3)得 y=5/2-x
代入(4)得 2x²-7x+21/4=0
==>x1=(7+√7)/4，y1=(3-√7)/4
x2=(7-√7)/4，y2=(3+√7)/4
∵z(x1,y1)=[(3-√7)/4+1]/[(7+√7)/4]=(7-√7)/(7+√7)=(4-√7)/3
z(x2,y2)=[(3+√7)/4+1]/[(7-√7)/4]=(7+√7)/(7-√7)=(4+√7)/3
∴z=((y+1)/x的最大值是(4+√7)/3，最小值是(4-√7)/3。
解法二：
设x=2+sina，则y=1+cosa
于是z=(2+cosa)/(2+sina)
==>zsina--cosa=2-2z
==>[z/√(z²+1)]sina-[1/√(z²+1)]cosa=(2-2z)/√(z²+1)..........(1)
令1/√(z²+1)=sinb，则z/√(z²+1)=cosb
代入(1)得cosbsina-cosasinb=(2-2z)/√(z²+1)
==>sin(a-b)=(2-2z)/√(z²+1)
∵│sin(a-b)│≤1
∴│2-2z│/√(z²+1)≤1
==>│2-2z│≤√(z²+1)
==>4(1-z)²≤(z²+1)
==>3z²-8z+3≤0
==>(4-√7)/3≤ z ≤(4+√7)/3
故z=((y+1)/x的最大值是(4+√7)/3，最小值是(4-√7)/3。

Answer 2

解：
令x=2+sina，y=1+cosa
令(y+1)/x=(cosa+1)/(sina+2)=A
Asina+2A=cosa+1
Asina-cosa=1-2A
√(A^2+1)sin(a+b)=1-2A
sin(a+b)=(1-2A)/√(A^2+1)
由-1≤sin(a+b)≤1，得
-1≤(1-2A)/√(A^2+1)≤1
(1-2A)^2/(A^2+1)≤1
A(3A-4)≤0
0≤A≤4/3

z=(y+1)/x的最大值为4/3，最小值为0。