Question

已知A,B两点的坐标分别为A(-1,0)、B(1,0),动点M满足MA+MB=2√2.(1)求动点M的轨迹方程（2）若点C在（1）中

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已知A,B两点的坐标分别为A(-1,0)、B(1,0),动点M满足MA+MB=2√2.(1)求动点M的轨迹方程（2）若点C在（1）中的轨迹上，且满足△ABC为直角三角形，求点C的坐标（3）设经过B点的直线L与（1）中的轨迹交于p，Q两点，问是否存在这样的直线L使得△APQ为正三角形，若存在求出直线L的方程

Answer 1

jw294929015您好！
解：（1）由动点M满足｜MA｜+｜MB｜=2√2，
得动点M的轨迹方程为椭圆方程，且2a=2√2，即a=√2 （Ⅰ）；
由A（-1，0），B（1，0），
得半焦距c=1 （Ⅱ），
由（Ⅰ）（Ⅱ）得b2=a2-c2=1，即b=1，
故该椭圆方程为
x^2/2+y^2=1
（1）解毕
（2）由题意得∠B=90°
故c点在x轴上的射影为x=1，
代入（1）中方程，得
y=√2/2，
故c(1，√2/2)
（2）解毕
（3）假设这样的直线L存在，则
须满足∠APQ=60°，∠AQP=60°
因｜AB｜=2，可设｜AP｜=x，则|PB|=2√2-x，
由余弦定理得
cos∠APQ=[｜AP｜^2+|PB|^2-|AB|^2]/[2|AP||PB|]
=[x^2+(2√2-x)^2-4]/[2x(2√2-x)
=1/2，
解得x1=√6/3+√2，x2=-√6/3+√2
|PB|1=√2-√6/3，|PB|2=√2+√6/3
要使三边|相等，QB|1=2√6/3，|QB|2=-2√6/3（舍去）
由椭圆定义，
｜AQ｜=2√2-2√6/3，
经验证，与三边相等矛盾，即与原假设矛盾，
故这样的直线L不存在
（3）解毕
题毕

Answer 2

1.右椭圆的定义知点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆
2a=2√2 a=√2 又c=1 所以b=1
故椭圆方程为 x²/2 +y² =1
未完待续