Question

已知函数f(x)=ax2+bx+c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z, （1）若b>2a且f(sinx) (x∈R)的最大值为2，最小值为－4，

已知函数f(x)=ax2+bx+c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z,
（1）若b>2a且f(sinx) (x∈R)的最大值为2，最小值为－4，试求函数f(x)的最小值；
（2）若对任意实数x，不等式4x≤f(x)≤2(x2+1)恒成立，且存在x0使得f(x0)<2(x02+1)成立，求c的值。

求过程 。

Answer 1

（1）a∈N*，b∈N，b>2a
∴f(x)=ax^2+bx+c(-1<=x<=1)↑，
∴f(sinx) (x∈R)的最大值为f(1)=a+b+c=2，①
最小值为f(-1)=a-b+c=－4②
[①-②]/2,b=3.
由b>2a知a=1,
代入①，c=-2.
∴f(x)=x^2+3x-2=(x+3/2)^2-17/4,
∴f(x)的最小值是-17/4.
（2）对任意实数x，不等式4x≤f(x)≤2(x^2+1)恒成立，
∴f(1)=a+b+c=4.b=4-a-c.
ax^2-(a+c)x+c>=0,
∴△=（a+c)^2-4ac=(a-c)^2<=0,
∴a=c.
又存在x0使得f(x0)<2(x0^2+1)成立，
即cx0^2+(4-2c)x0+c<2(x0^2+1),
(c-2)x0^2+(4-2c)x0+c-2<0,
(c-2)(x0-1)^2<0,
∴c<2,
由c=a∈N*,知
c=1.

Answer 2

1、f(sinx) (x∈R)的最大值为2，最小值为－4就表示函数f(x)在区间[－1,1]上的最大值和最小值分别是2和－4，由于此抛物线的对称轴x=－b/2a<－1，且开口向上，所以f(－1)=－4，f(1)=2，a－b＋c=－4，a＋b＋c=2，解得b=3，2a<b=3，即a=1，从而c=－2。
2、以x=1代入，有4≤f(1)≤4，所以f(1)=4，即a＋b＋c=4，又4x≤f(x)对一切实数恒成立，f(x)－4x≥0恒成立，所以，(b－4)²－4ac≤0，(a＋c)²≤4ac，就a=c，所以2a＋b=4，a∈N*，b∈N，那只有a=1，b=2或者a=2，b=0。第二组解不满足f(x)≤2(x2+1)恒成立。从而正解得到。

Answer 3

f(sinx) (x∈R)的最大值为2，最小值为－4就表示函数f(x)在区间[－1,1]上的最大值和最小值分别是2和－4，由于此抛物线的对称轴x=－b/2a<－1，且开口向上，所以f(－1)=－4，f(1)=2，a－b＋c=－4，a＋b＋c=2，解得b=3，2a<b=3，即a=1，从而c=－2。

Answer 4

dsa