Question

若f(x)在[0,π]上连续, ∫(0,π)f(x)cos(x)dx=∫(0,π)f(x)sin(x)dx=0 则存在a,b∈0，π,使得f(a)=f(b)=0

证明：若f(x)在[0,π]上连续,且
∫(0,π)f(x)cos(x)dx=∫(0,π)f(x)sin(x)dx=0
则存在0<=a,b<=π,使得f(a)=f(b)=0

Answer 1

首先证明f(X)在区间上有一个零点，这一点你利用∫(0,π)f(x)sin(x)dx=0就可以很简单地证明了（注意到sin(x)在区间上恒非负，以及利用一下f(x)的连续性（f(x)没有零点的话要么恒正要么恒负）就可以证明）

好了，假设f(x)有一个零点a，而且仅有这一个零点，下面分这样几个步骤进行
1、a不可能是端点，这一点很好证明，仿照第一段证明零点的存在性利用∫(0,π)f(x)sin(x)dx=0以及f(x)的连续性就可以简单地证明。
2、f(x)在[0,a)和(a,π]上异号，加入同正或者同负的话∫(0,π)f(x)sin(x)dx>0或者∫(0,π)f(x)sin(x)dx<0
3、我们不妨设f(x)在[0,a)上为正而在(a,π]上为负
a=π/2时，∫(0,π)f(x)cos(x)dx>0必然成立，矛盾
0<a<π/2时，考虑积分∫(0,π)f(x)sin(x-a)dx=0(这个把sin(x-a)展开就很容易看出来了）
另一方面∫(0,π)f(x)sin(x-a)dx=∫(0,a)f(x)sin(x-a)dx+∫(a,π)f(x)sin(x-a)dx而∫(0,a)f(x)sin(x-a)<0;
∫(a,π)f(x)sin(x-a)<0（注意f(x)和sin(x-a)在区间上的正负号。于是产生矛盾
π>a>π/2时，也是类似的考虑积分∫(0,π)f(x)sin(x+π-a)dx就可以了，也是和0<a<π/2一样的分析,同样可以推出矛盾。

于是f(x)在区间上仅有一个零点的可能被推翻，所以至少存在2个不同的零点。

在这里打数学式子真的很麻烦，所以有一些细节没有打出来，相信你可以看明白吧……不过过程可能有点繁琐，可能会有更简单的方法。^_^

Answer 2

这个我也不会。

Answer 3

@=根号5／5
sin@=2cos@=2根号5／5