Question

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如图已知：P为半径为5的圆O内一点，过P点最短的弦长为8，则OP=

（2）在（1）的条件上，若圆O内有一异于P点的Q点，过Q点的最短弦长为6，且这两条弦平行，求PQ的长

（3）在(1)的条件下，过P点任作弦MN、AB，试比较PM*PN与PA*PB的大小关系，且写出比较过程。你能用一句话归纳你的发现吗？

（4）在（1）的条件下，过P点的弦CD=25/3，求PC、PD的长

Answer 1

(1)①OP=根号（5²-4²）=3

②OQ=根号（5²-3²）=4
因为两条弦平行
所以O、P、Q三点共线
(2)同理，OQ=4，所以PQ=1或PQ=7
(3)相等，发现过点P的弦被点P分成的两部分的乘积相等
(4)设PC=x，
则PD=25/3-x，
x(25/3-x)=16，
3x^2-25x+48=0，
(3x-16)(x-3)=0，
x1=16/3，
x2=3

Answer 2

1、连接OP，过P作AB⊥OP交圆于A、B，连接OA、OB
则△OAP为Rt△
斜边OA与两直角边OP、AP符合勾股定理，所以OP=（5^2+(8/2)^2）^(1/2)=3
2、同理，OQ=4
所以PQ=|4-3|=1
3、连接AN、BM
∠NAB=（1/2）*弧BN
∠NMB=（1/2）*弧BN
所以∠NAB=∠NMB
∠NPA=∠MPB（对顶角）
所以△ANP∽BMP
所以PA:PM=PN:PB，即PA*PB=PM*PN
用文字表述为：过圆内任一点将弦分成的两段长的乘积为一定值。
4、连接OP并向两端延长交圆于E、F
则EF为圆的直径，且PE=2，PF=7
依题知：PC*（25/3-PC）=2*7
解得：PC=7/3或PC=6
则：PD=6或PD=7/3
即PC、PD的长分别是6和7/3

Answer 3

1 用垂径定理做 半径5 弦的一半是4 OP就是3
2同理 也用垂径定理 得OQ是4 平行的话 要么在P上面 要么在O下面 答案是1或7
3 实际上是一个割线定理。俩乘积是相等的，可以通过相似三角形证，对顶角加上圆周角。一画图就明白了
4可以过OP做一条直径，利用3的结论证明 直径上的边长都求出来了。

不算难 按照步骤画一下图 一看就明白了

Answer 4

请记住这么一条规律：过圆内除圆心O外的任何一点P的最短弦是与OP垂直的那一条。自然，圆内最长的一条弦就是过此点的直径了。同理，对圆内的任何弦，可过圆心分别做弦的垂线（垂直平分弦），再连接圆心与弦的端点，构造直角三角形，有勾股定理可得各线段长度。平行弦是特殊情况了，更好做了。
对第三问的规律是“相等”。
对第四问，其实就是第二问的逆用，构造直角三角形就显而易见了。
额外补充几句：学数学一定要学会数形结合的思想与方法。画图有助于你了解解题思路。另外，也需要学会数学思想方法的逆用，正着会用，反着也要会用。

Answer 5

op=2.
pq=2
利用三角函数大小判断，试着自己做一下？
10/3、5

Answer 6

我是这样想的：
（1）首先“最短弦长”说明了是过P点且垂直于OP的线段长度是8（那么它的一半则是4），又因为此圆的半径为5，由勾股定理知道OP=3 ；
（2）过Q点的弦长是6且与过P点的弦平行，说明O\P\Q必在一条直线上，同样由勾股定理过Q点弦长的一半为3，圆半径为5，则OQ=4，前面已经知道OP=3，则PQ=1或7（当两点在圆心两侧时）；
（3）（4）画几条线计算一下就可以知道，PM*PN=PA*PB=16 , 按这样的规律我们来求当弦总长为25/3时的PC、PD的长，可以列个简单的方程，PC*PD=16, PC+PD=25/3,求出PC、PD；