Question

已知梯形ABCD,AD‖BC,AB=BC,∠ABC=80°,∠ACB=60°,∠EBC=50°,求∠EAC

已知梯形ABCD,AD‖BC,AB=BC,∠ABC=80°,∠ACB=60°,∠EBC=50°,求∠EAC
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Answer 1

设梯形对角交点为O

因为是等腰梯形，∠ACB=60°，所以三角形BCO和三角形ADO都是等边三角形

在三角形BCE中，因为,∠EBC=50°，∠BCD=∠ABC=80度，得∠BEC=180-∠EBC-∠BCE=180-50-80=50度，所以BC=CE，又因为OC=BC，所以OC=CE，∠OCE=∠BCE-∠ACB=80-60=20度，可得∠COE=∠CEO=（180-∠OCE）/2=（180-20）/2=80度，∠DOE=180-∠BOC-∠COE=180-60-80=40度，∠ODE=∠OEC-∠DOE=80-40=40，可得OE=OD，

对三角形ADE和三角形AOE，因为AD＝AO，AE＝AE，OE＝DE，所以全等，得∠OAE＝∠EAD=∠OAD/2=60/2=30度

Answer 2

在AB上取点F,使∠FCB=20
显然ABCD为等腰梯形,∠DCB=∠ABC=80
∠ECF=80-20=60
∵∠CFB=180-∠ABC-∠FCB=180-80-20=80=∠ABC
∴BC=FC
∵∠CEB=180-∠EBC-∠ECB=180-50-80=50=∠EBC
∴BC=EC
∴FC=EC
∵∠ECF=∠ECB-∠FCB=80-20=60
∴△CEF为等边三角形
∴FE=FC,∠EFC=60

∵∠FAC=180-∠ABC-∠ACB=180-80-60=40
∠FCA=∠ACB-∠FCB=60-20=40
∴∠FAC=∠FCA
∴FA=FC

∴FA=FE
∵∠AFE=180-∠EFC-∠CFB=180-60-80=40
∴∠FAE=(180-∠AFE)/2=(180-40)/2=70
∴∠EAC=∠FAE-∠FAC=70-40=30

Answer 3

AB=BC，〈ACB=60度，〈BAC=〈ACB=60度，则〈ABC=60度，三角形ABC是等边三角形，〈ABC=80度？
若改成AB=CD，则解答如下：连结BD，交AC于F，
AB=CD，〈ABC=〈DCB，BC=BC
△ABC≌△DCB（SAS），
〈FCB=〈FBC=60度，
三角形FBC是正三角形，
BF=CF=BC，
〈ECB=〈ABC=80度，
〈BEC=50度，
BC=EC=FC，
〈ECF=80度-60度=20度,
<CFE=(180度-20度 )/2=80度，
△ADF∽△CBF，
三角形ADF也是正三角形，
AD=AF，
〈DFE=180度-60度-80度=40度,
<FDE=180度-<DFC-<FCD=180度-120度-20度=40度，
三角形DFE是等腰三角形，
DE=FE，
△AFE≌△ADE，
〈EAF=〈EAD=〈CAD/2=30度。