Question

高中数学~~~~急急急~~~~~~跪求

已知矩形纸片ABCD中，AB=6cm，AC=2cm，将ABCD的右下角折起使该角的顶点落在矩形的边AD上，且折痕的MN两端点M和N分别落在AB和BC上，设∠MNB=θ，MN=l

（1）将l表示成θ的函数
（2）求l的最小值

要过程，谢谢~~

Answer 1

(1)，设折叠后落在AD边上的点为B‘，过B’作BC的垂线，垂足为F，
则：B‘F=AC=2，NB’=NB=lcosθ，
在直角三角形B‘NE中，∠B’NB=2∠MNB=2θ，
所以 lcosθ*sin2θ=B‘F=2
即 l=2/cosθ*sin2θ=1/[(cosθ)^2*sinθ]。
(2)，因为 (cosθ)^2*sinθ=[(1-(sinθ)^2]*sinθ=sinθ-(sinθ)^3
令x=sinθ，y=sinθ-(sinθ)^3， 则：y=x-x^3。
因为 0<θ<=π/4， 0<sinθ<=√2/2，
所以 0<x<=√2/2。
y’=1-3x^2，令y‘=0，则：x=√3/3。（0<x<=√2/2）
当 0<x<√3/3时，y’>0；
当 √3/3<x<√2/2 y'<0。
所以函数y=x-x^3，（0<x<=√2/2）在x=√3/3时有最大值，
最大值为：y=2√3/9。
即 (cosθ)^2*sinθ的最大值为：2√3/9，
所以 l=1/[(cosθ)^2*sinθ]有最小值：1/(2√3/9)=3√3/2。