Question

已知函数f(x)=ax3+2x2+b(x属于R),其中a,b属于R,g(x)=x4+f(x) (1)当a=-3分之10时讨论函数f(x)的单调性； (2

已知函数f(x)=ax3+2x2+b(x属于R),其中a,b属于R,g(x)=x4+f(x)
(1)当a=-3分之10时讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数g(x)仅在x=0处有级值，求a的取值范围；
(3)若对于任意的a属于[-2,2],不等式g(x)<等于1在[-1,1]上恒成立，求b的取值范围。

Answer 1

（1）f’（x）=4x³+3ax²+4x
当x=-10/3
f’（x）=4x³-10x²+4x
令f’（x）≥0
函数递增
用穿针引线法解得
0≤x≤1/2或x≥2
所以增区间为[0,1/2]和[2,+∞）
同理减区间为（-∞，0）和（1/2，2）

（2）函数f(x)仅在x=0处有极值说明f’（x）=0
只有一个解切为0
f’（x）=4x³+3ax²+4x=x（4x²+3ax+4）
要满足只有一个解切为0
只需4x²+3ax+4=0无解
9a²-4*4*4＜0
解得-8/3<a<8/3
(3)
函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b(x∈R),其中a,b∈R.若对于任意的a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立，求b的取值范围。
回答：
y'=4x^3+3ax^2+4x=x(4x^2+3ax+4)
Δ＝9a^2-64<0
y"=12x^2+6ax+4
Δ＝36(a^2-16/3)<0
显然函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b(x∈R),其中a,b∈R,在（－∞，＋∞）上只有一个最值，在整个区间上是凹向上的
依据题意有
max f(x)=max{f(-1),f(1)}=max{3+b+a,3+b-a}=5+b
又因为对于任意的a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立
所以b≤-4