Question

如图，在∠ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E

①若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数。
②当点P在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系并证明你的结论。

Answer 1

(1)由于三角形内三角和为180°，所以∠BAC为60°，那么∠DAB=30°，∠ADC=65°。由于PE垂直AD的关系，∠E为25°。

（2）猜想，∠E是∠B与∠ACB角度差的一半。

证明，由题意，可以假设∠B、∠ACB角度分别为x，y度，所以∠BAC为180°-x-y，那么∠DAB=90°-（x+y）/2，∠ADC=x+90°-(x+y)/2。由于PE垂直AD的关系，∠E=90°-∠ADC=（y-x）/2.

所以下结论，得证！

Answer 2

解：（1）∵∠B=35°，∠ACB=85°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=30°，
∴∠ADC=65°，
∴∠E=25°；

解：（2）∠E=1/2（∠B-∠ACB）或∠E=1/2（∠ACB-∠B）

由于∠B和∠ACB的大小不确定，故表达式应写为两种情况．

Answer 3

1、解
∵∠BAC+∠ACB+∠B＝180, ∠B＝35, ∠ACB＝85
∴∠BAC＝180-（∠ACB+∠B）＝60
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠BAC/2＝30
∴∠ADE＝∠BAD+∠B＝30+35＝65
∵PE⊥AD
∴∠E+∠ADE＝90
∴∠E＝90-∠ADE＝25°

2、：∠E＝（∠ACB-∠B）/2
证明：
∵∠BAC+∠ACB+∠B＝180
∴∠BAC＝180-（∠ACB+∠B）
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠BAC/2＝90-（∠ACB+∠B）/2
∴∠ADE＝∠BAD+∠B＝90-（∠ACB+∠B）/2+∠B＝90+（∠B-∠ACB）/2
∵PE⊥AD
∴∠E+∠ADE＝90
∴∠E＝90-∠ADE＝90-[90+（∠B-∠ACB）/2]＝（∠ACB-∠B）/2