Question

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已知函数f(x)=x的3次方+2x的2次方+x①求函数f(x)的单调区间和极值②若对于任意x属于(0,正无穷),f(x)≥ax的2次方，恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

解：（1）对函数f(x)=x的3次方+2x的2次方+x 求导
得导函数为 3x^2+4x+1 令导函数等于0 得极值
即 3x^2+4x+1=0 解得极值 为 x=-1/3 ,x=-1
且根据分析当x>=-1/3或者x<-1时,f(x)的导函数大于0 ，这时f(x)就是单调递增的
当-1=<x=<-1/3时，f(x)的导函数小于0 ，这时f(x)就是单调递减的
（2）要使f(x)≥ax的2次方，即 f(x)-ax)≥0 恒成立
即构造函数H（x)=f(x)-ax 最小值大于0
对H（x)求得导函数为 3x^2+4x+1-a 只要导函数大于0 即可满足H（x）在0到正无穷为单调递增函数且存在最小值 H(0) =0
所以 要使 3x^2+4x+1-a恒大于0 只需满足4^2-4*3*(1-a)>0 解得a<-1/3