Question

一道椭圆的习题

已知中心在原点的椭圆C的一个焦点F(4,0),长轴端点到较近焦点距离为1,A(x1,y1),
B(x2,y2）（x1≠x2），为椭圆上不同两点
若x1+x2=8，在x轴上是否存在一点D，使得向量DA模长=向量DB模长，若存在，求出D点坐标，若不存在，说明理由.。

Answer 1

解：设D点坐标为(m,0).由题意易得c=4，a=5，b=3.故x²/25 +y²/9=1
A、B在椭圆上，即x1²/25 +y1²/9=1
x2²/25 +y2²/9=1
两式相减，(x1+x2)(x1-x2)/25=-(y1+y2)(y1-y2)/9
得 y1+y2 =-72(x1-x2)/25(y1-y2)=(
连接D和AB的中点E(4,(y1+y2)/2),斜率为(y1+y2)/2(4-m)
因为DA=DB，所以DE为AB垂直平分线，DE⊥AB，斜率之积为-1
即 (y1-y2)(y1+y2)/2(4-m)(x1-x2)=-1,
解得m=-64/25
所以D(-64/25,0)

Answer 2

存在
理由如下：
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1 则由题意c=4,a=c+1=5 则b=3
所以椭圆方程x^2/25+y^2/9=1 设D点坐标（m，0）|DA|=|DB|
(m-x1)^2+y1^2=(m-x2)^2+y2^2 将A,B点坐标代入椭圆方程化简可得
16/25（x1+x2)(x1-x2)=2m(x1-x2) 因为x1不等于x2 x1+x2=8
则m=64/25 D点坐标（64/25,0）