N分之一放缩方法
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要证明：1/2-1/(n+1)<1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(n-1)/n
1/2^2+1/3^2+...+1/n^2
=1/(2*2)+1/(3*3)+...+1/(n*n)
>1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/[n(n+1)]
=1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)
=1/2-1/(n+1)
因此1/2-1/(n+1)<1/2^2+1/3^2+...+1/n^2.
1/2^2+1/3^2+...+1/n^2
=1/(2*2)+1/(3*3)+...+1/(n*n)
<1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[(n-1)n]
=1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-2)-1/(n-1)+1/(n-1)-1/n
=1-1/n
=(n-1)/n
因此1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(n-1)/n
综上，1/2-1/(n+1)<1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(n-1)/n
1/2^2+1/3^2+...+1/n^2
=1/(2*2)+1/(3*3)+...+1/(n*n)
>1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/[n(n+1)]
=1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)
=1/2-1/(n+1)
因此1/2-1/(n+1)<1/2^2+1/3^2+...+1/n^2.
1/2^2+1/3^2+...+1/n^2
=1/(2*2)+1/(3*3)+...+1/(n*n)
<1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[(n-1)n]
=1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-2)-1/(n-1)+1/(n-1)-1/n
=1-1/n
=(n-1)/n
因此1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(n-1)/n
综上，1/2-1/(n+1)<1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(n-1)/n
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赫普菲乐
2024-07-16 广告
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