Question

求解一道极限的证明题。

请用极限定义证明：x→2，y=x^2→4
一定要写出过程哦，谢谢了！
那找个证明对不对呢：
1）x^2 > 4
x^2 - 4 < ε
得 2 < x < √(4+ε)
2 )x^2 <= 4
4 - x^2 < ε
4 - ε < x^2
得 2 >= x > √(4-ε)

所以 √(4-ε) < x < √(4+ε) 1式
-------。-----。--------。----------------->x轴
√(4-ε) 2 √(4+ε)
取δ0 = min(2 - √(4-ε) , √(4+ε) -2)
当0 < |x - 2| < δ0，x必满足1式， |x^2-4|<ε必然成立。
取δ为0至δ0之间的任何一个数都可以，通常取δ0，一般情况下，没有必要这么精确的找到δ。

到底哪个才是对的？

Answer 1

证明：对任意ε>0，取δ=min{1，ε/5}。
当│x-2│<δ时，有│x-2│<1，且│x-2│<ε/5
于是，有│x²-4│=│(x-2)(x+2)│
=│x-2││(x-2)+4│
≤│x-2│(│x-2│+4)
<│x-2│(1+4)
=5│x-2│
<5(ε/5)
=ε
故根据极限定义知，lim(x->2)(x²)=4。证毕。