Question

求一道极限题证明过程：

“*”表示“乘”
已知数列{An}与数列{Bn}均有极限
且{An*Bn}的极限是0
求证：{An}或{Bn}的极限是0
谢谢大家

Answer 1

不妨设An,Bn,极限分别为a,b。
那么对任意e>0,存在N1>0,st n>N时，有|An-a|<e,存在N2>0,st n>N2时 |Bn-b|<e,
AnBn-ab=|AnBn-Anb+Anb-ab|<|An||Bn-b|+|An-a||b|<2eM，(取N>max(N0,N1),而且因为An,Bn,极限存在，所以An，b,都是有界量）
于是AnBn极限为ab,它等于0意味a=0或者b=0

Answer 2

已知: lim(n→∞) An = a
lim(n→∞) Bn = b
lim(n→∞) An*Bn = 0
求证: a = b = 0
证明: lim(n→∞) An*Bn =lim(n→∞) An * lim(n→∞)Bn = a*b = 0
即: a = 0 或 b = 0 .

追问

其实就是想问你为什么{AnBn}的极限等于{An}的极限*{Bn}的极限。

Answer 3

用反证法试试