Question

椭圆x平方+4分之y平方=1上的点到直线x-y-3=0的距离最小值为？

Answer 1

设过椭圆上一点且与x-y-3=0平行的直线是x-y+m=0
y=x+m 代入椭圆x^2+(x+m)^2/4=1
4x^2+x^2+2mx+m^2=4
5x^2+2mx+m^2-4=0
判别式=4m^2-20(m^2-4)=0
16m^2=80
m=(+/-)根号5
显然当m=-根号5时，点到直线有最小值。
最小值=二平行线间的距离=|-根号5+3|/根号2=（3-根号5）*根号2/2=（3根号2-根号10）/2

Answer 2

这题方法多。可设椭圆上的点P（cosx,2sinx）有点到直线距离公式得距离
d=|cosx-2sinx-3|／√2=|√5sin(x-θ)-3|／√2,
显然sin(x-θ)=1时，所求最小值=√2／2（3-√5）
其中tanθ=0.5
参数方程方法简单。