Question

函数数学题。设f(x)=x^2-alnx g(x)=x-a根号x的图像分别交直线x+1于点A,B，且曲线

设f(x)=x^2-alnx与g(x)=x-a根号x的图像分别交直线x+1于点A,B，且曲线y=f(x)在点A处的切线于曲线y=g(x)在B点切线平行。
1.求f(x),g(x)的表达式
2.设函数h(x)=f(x)-g(x),求h(x)的最小值。
3.若f(x)≥m*g(x),在x∈(0,4)上恒成立，求m的范围。

Answer 1

.将x=1代入f（x）和g（x）求得A、B两点坐标分别为（1,1）（1,1-a）。
因为两切线平行，则有两切线的斜率相等，那么分别对f（x），g（x）求导， 在A，B两点处的斜率分别为f（x）的导数和g（x）的导数在x=1时的值，分别为2-a，1-a/2 即2-a=1-a/2
解得a=2 代入原式得
f(x)=x^2-2lnx ， g(x)=x-2根号x
2.h(x)=f(x)-g(x)=x^2-x-2根号x-2lnx 讨论h(x)在整个区间x大于0上的单调性 不难得到结论：h(x)在区间（0,1]上为单调递减函数，在区间[1,+无穷）上为单调递增函数 所以x=1时函数h(x)有最小值为2
3.因为f(x)在区间(0,4)内f(x)>0恒成立，而g(x)在区间(0,4)内g(x)<0恒成立，所以m的取值范围为m大于等于0

Answer 2

f‘(x)=3ax2+2bx+c
设P（x，y）y=0,x=1/3
所以f(x)=a(1/3)3+b(1/3)2+(1/3)c+d=0
f‘(x)=(1/3)a+(2/3)b+c=12
函数在x=2处取得极值0
f‘(2)=12a+4b+c=0
f(2)=8a+4b+2c+d=0

Answer 3

设f(x)=x^2-alnx与g(x)=x-a根号x的图像分别交直线x+1于点A,B，且曲线y=f(x)在点A处的切线于曲线y=g(x)在B点切线平行。
1.求f(x),g(x)的表达式
2.设函数h(x)=f(x)-g(x),求h(x)的最小值。
3.若f(x)≥m*g(x),在x∈(0,4)上恒成立，求m的范围

Answer 4

求导：f‘(x)=3ax2+2bx+c
设P（x，y）y=0,x=1/3
所以f(x)=a(1/3)3+b(1/3)2+(1/3)c+d=0
f‘(x)=(1/3)a+(2/3)b+c=12
函数在x=2处取得极值0
f‘(2)=12a+4b+c=0
f(2)=8a+4b+2c+d=0
四个方程，四个未知数可解出abcd