Question

已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1

1 求 MN与A1C1所成交的正切
2 求证 平面A C C1 A1 ⊥ 平面 A1 B D

Answer 1

(前提：M、N分别为A1B1、BC中点)
1）取B1C1中点P，连接NP、MP
∵正方体
∴面BCC1B1⊥面A1B1C1D1
BB1⊥面A1B1C1D1
NP‖BB1（中位线）
∴NP⊥面A1B1C1D1
∠NMP即为所求角
直角ΔMNP中
tan∠NMP=√2
2）连接BD、AC
∵正方体
∴BD⊥AC，AA1⊥面ABCD
∴AA1⊥BD
∵AA1交AC于A
∴BD⊥面AA1C1C
∵BD包含于A1BD
∴面ACC1A1⊥面A1BD